【題目】如圖,是棱長為2的正方體,為面對角線上的動點(不包括端點),平面交于點,于.
(1)試用反證法證明直線與是異面直線;
(2)設(shè),將長表示為的函數(shù),并求此函數(shù)的值域;
(3)當最小時,求異面直線與所成角的大小.
【答案】(1)證明見解析;(2),值域;(3)
【解析】
(1)假設(shè)直線與是共面直線,利用公理2及長方體的相鄰兩個面不重合證明;
(2)設(shè),利用平行線解線段成比例求得,得到,進一步求得,再由勾股定理列式求解,結(jié)合二次函數(shù)求值域;
(3)當時,最小,此時,由于,又,為異面直線與所成角的平面角,通過解直角三角形得答案.
(1)證明:假設(shè)直線與是共面直線,
設(shè)直線與都在平面上,則、、、.
因此,平面、平面都與平面有不共線的三個公共點,
即平面和平面重合(都與平面重合),
這與長方體的相鄰兩個面不重合矛盾,
于是,假設(shè)不成立,
直線與是異面直線;
(2)解:正方體的棱長為2,,
設(shè),則,得,
,,得,
,
當時,有最小值為,當時,,
函數(shù)的值域為;
(3)當時,最小,此時,
在底面中,,,,
又,為異面直線與所成角的角,
在中,為直角,,
,
∴異面直線與所成角的大小為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】產(chǎn)能利用率是指實際產(chǎn)出與生產(chǎn)能力的比率,工r產(chǎn)能利用率是衡量工業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營狀況的重要指標.下圖為國家統(tǒng)計局發(fā)布的2015年至2018年第2季度我國工業(yè)產(chǎn)能利用率的折線圖.
在統(tǒng)計學中,同比是指本期統(tǒng)計數(shù)據(jù)與上一年同期統(tǒng)計數(shù)據(jù)相比較,例如2016年第二季度與2015年第二季度相比較;環(huán)比是指本期統(tǒng)計數(shù)據(jù)與上期統(tǒng)計數(shù)據(jù)相比較,例如2015年第二季度與2015年第一季度相比較.
據(jù)上述信息,下列結(jié)論中正確的是( ).
A. 2015年第三季度環(huán)比有所提高B. 2016年第一季度同比有所提高
C. 2017年第三季度同比有所提高D. 2018年第一季度環(huán)比有所提高
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某手機廠商在銷售某型號手機時開展“手機碎屏險”活動.用戶購買該型號手機時可選購“手機碎屏險”,保費為元,若在購機后一年內(nèi)發(fā)生碎屏可免費更換一次屏幕,為了合理確定保費的值,該手機廠商進行了問卷調(diào)查,統(tǒng)計后得到下表(其中表示保費為元時愿意購買該“手機碎屏險”的用戶比例):
(1)根據(jù)上面的數(shù)據(jù)計算得,求出關(guān)于的線性回歸方程;
(2)若愿意購買該“手機碎屏險”的用戶比例超過,則手機廠商可以獲利,現(xiàn)從表格中的種保費任取種,求這種保費至少有一種能使廠商獲利的概率.
附:回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計分別為,
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【題目】某初級中學共有學生2000名,各年級男生女生人數(shù)如表: 已知在全校學生中隨機抽取1名,抽到的是初二年級女生的概率是0.19.
初一年級 | 初二年級 | 初三年級 | |
女生 | 373 | x | y |
男生 | 377 | 370 | z |
(1)求x的值.
(2)現(xiàn)用分層抽樣法在全校抽取48名學生,問應(yīng)在初三年級學生中抽取多少名?
(3)已知y≥245,z≥245,求初三年級女生比男生多的概率.
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【題目】(本小題滿分12分)一個盒子里裝有三張卡片,分別標記有數(shù)字,,,這三張卡片除標記的數(shù)字外完全相同。隨機有放回地抽取次,每次抽取張,將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為,,.
(Ⅰ)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足”的概率;
(Ⅱ)求“抽取的卡片上的數(shù)字,,不完全相同”的概率.
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【題目】在某地區(qū)2008年至2014年中,每年的居民人均純收入y(單位:千元)的數(shù)據(jù)如下表:
對變量t與y進行相關(guān)性檢驗,得知t與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系.
(1)求y關(guān)于t的線性回歸方程;
(2)預(yù)測該地區(qū)2016年的居民人均純收入.
附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:
,
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【題目】微信作為一款社交軟件已經(jīng)在支付,理財,交通,運動等各方面給人的生活帶來各種各樣的便利.手機微信中的“微信運動”,不僅可以看自己每天的運動步數(shù),還可以看到朋友圈里好友的步數(shù). 先生朋友圈里有大量好友使用了“微信運動”這項功能.他隨機選取了其中40名,記錄了他們某一天的走路步數(shù),統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示:
(1)以樣本估計總體,視樣本頻率為概率,在先生的微信朋友圈里的男性好友中任意選取3名,其中走路步數(shù)不低于6000步的有名,求的分布列和數(shù)學期望;
(2)如果某人一天的走路步數(shù)不低于8000步,此人將被“微信運動”評定為“運動達人”,否則為“運動鳥人”.根據(jù)題意完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此判斷能否有90%以上的把握認為“評定類型”
與“性別”有關(guān)?
附:.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在某藝術(shù)團組織的“微視頻展示”活動中,該團體將從微視頻的“點贊量”和“專家評分”兩個角度來進行評優(yōu).若A視頻的“點贊量”和“專家評分”中至少有一項高于B視頻,則稱A視頻不亞于B視頻.已知共有5部微視頻展,如果某微視頻不亞于其他4部視頻,就稱此視頻為優(yōu)秀視頻.那么在這5部微視頻中,最多可能有_______個優(yōu)秀視頻.
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