Question

已知函數(shù)f（x）=2x³-（a+2）x²+2（a-1）x（a∈R）．
（Ⅰ） 若函數(shù)y=f（x）在x=-1處的切線方程為4x-y+5=0，求實(shí)數(shù)a的值．
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，不等式f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），計(jì)算f（x）在點(diǎn)P（-1，f（-1））處的切線斜率k，由切線方程為4x-y+5=0，得k=f′（-1）=4a+8．求解即可．
（Ⅱ）由f′（x）=6x²-2（a+2）x+2（a-1）=2（x-1）（3x-a+1），得令f′（x）=0，有x=1，或x=a-1．討論1與a-1的大小，求出f（x）的最小值，由f（x）_min≥0可解得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=2x³-（a+2）x²+2（a-1）x（a∈R），
∴f′（x）=6x²-2（a+2）x+2（a-1），
∵函數(shù)y=f（x）在x=-1處的切線方程為4x-y+5=0，
∴f′（-1）=4，
即6+（a+2）+2（a-1）=4，
解得，a=-1；
（Ⅱ）∵f′（x）=6x²-2（a+2）x+2（a-1）
=2（x-1）（3x-a+1），
∴令f′（x）=0，有x=1，或x=a-1．
當(dāng)a-1≤1，即a≤2時(shí)，x∈[0，3]，f（x）的最小值在x=0，或x=1處取得，
∴不等式f（x）≥0恒成立等價(jià)于，

f(0)≥0 f(1)≥0

，即2-（a+2）+2（a-1）≥0，
解得a=2，
當(dāng)1＜a-1＜3，即2＜a＜4時(shí)，x∈[0，3]，f（x）的最小值在x=0，或x=a-1處取得，
∴不等式f（x）≥0恒成立等價(jià)于，

f(0)≥0 f(a-1)≥0

，即2（a-1）³-（a+2）（a-1）²+2（a-1）（a-1）≥0，
解得2＜a＜4，
當(dāng)a-1≥3，即a≥4時(shí)，x∈[0，3]，f（x）的最小值在x=0，或x=3處取得，
∴不等式f（x）≥0恒成立等價(jià)于，

f(0)≥0 f(3)≥0

，即54-9a-18+6a-6≥0，
解得4≤a≤10，
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2，10]

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線斜率，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值，考查恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化為思想．屬于難題