Question

已知函數(shù)f（x）在定義域（-∞，1]上是減函數(shù)，若不等式f（k-sinx）≥f（k²-sin²x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則k的取值范圍是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由f（x）在定義域（-∞，1]上是減函數(shù)，結(jié)合不等式f（k-sinx）≥f（k²-sin²x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立得到

k-sinx≤1 k2-sin2x≤1 k-sinx≤k2-sin2x

對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，分別求解每一個(gè)不等式取交集得k的取值范圍．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）是定義在（-∞，1]上的減函數(shù)，且不等式f（k-sinx）≥f（k²-sin²x）恒成立，
∴

k-sinx≤1 k2-sin2x≤1 k-sinx≤k2-sin2x

對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，
即

k≤sinx+1 k2≤sin2x+1 k-k2≤sinx-sin2x

對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，
由此可得k≤0               ①
k²≤（1+sin²x）_min ②
且k-k²≤（sinx-sin²x）_min ③
由②得，k²≤1，解得-1≤k≤1．
由③得，k-k²≤-2，解得k≤-1或k≥2．
∴k=-1．
即存在實(shí)數(shù)k=-1，使不等式f（k-sinx）≥f（k²-sin²x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立．
故答案為：{-1}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，考查了三角函數(shù)的有界性及不等式的解法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．