Question

如圖是函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤

π

2

）的部分圖象．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）滿足方程f（x）=a（0＜a＜1），求在[0，2π]內(nèi)的所有實(shí)數(shù)根之和；
（Ⅲ）把函數(shù)y=f（x）的圖象的周期擴(kuò)大為原來(lái)的兩倍，然后向右平移

2π

3

個(gè)單位，再把縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的兩倍，最后向上平移一個(gè)單位得到函數(shù)y=g（x）的圖象．若對(duì)任意的0≤m≤3，方程|g（kx）|=m在區(qū)間[0，

5π

6

]上至多有一個(gè)解，求正數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）根據(jù)三角函數(shù)的部分圖象，求出函數(shù)的周期和定點(diǎn)坐標(biāo)，即可求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）作出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的對(duì)稱軸即可求在[0，2π]內(nèi)的所有實(shí)數(shù)根之和；
（Ⅲ）根據(jù)三角函數(shù)的圖象變化，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）由圖可知：A=1，

1

2

T=

π

ω

=

5π

6

-

π

3

，
∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ）又由圖可知：（

π

3

，0）
是五點(diǎn)作圖法中的第三點(diǎn)，
∴2×

π

3

+φ=π，即φ=

π

3

，∴f（x）=sin（2x+

π

3

）．
（Ⅱ）因?yàn)閒（x）=sin（2x+

π

3

）的周期為π，
f（x）=sin（2x+

π

3

）在[0，2π]內(nèi)恰有2個(gè)周期．
（1）當(dāng)0＜a＜

3

2

時(shí)，方程sin（2x+

π

3

）=a在[0，2π]內(nèi)有4個(gè)實(shí)根，
設(shè)為x₁、x₂、x₃、x₄，
結(jié)合圖象知 x₁+x₂=

7π

6

、x₃+x₄=

19π

6

，故所有實(shí)數(shù)根之和為

13π

3

．
（2）當(dāng)a=

3

2

時(shí)，方程sin（2x+

π

3

）=a在[0，2π]內(nèi)有5個(gè)實(shí)根為0、

π

6

、π、

7π

6

、2π，
故所有實(shí)數(shù)根之和為

13π

3

．
（Ⅲ）把函數(shù)y=f（x）=sin（2x+

π

3

）的圖象的周期擴(kuò)大為原來(lái)的兩倍，
則函數(shù)為y=sin（x+

π

3

），
然后向右平移

2π

3

個(gè)單位，得到y(tǒng)=sin（x-

2π

3

+

π

3

）=sin（x-

π

3

），
再把縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的兩倍得到y(tǒng)=2sin（x-

π

3

），
最后向上平移一個(gè)單位得到函數(shù)y=g（x）=2sin（x-

π

3

）+1．
則|g（kx）|=|2sin（kx-

π

3

）+1|對(duì)應(yīng)的圖象如圖．
要使方程|g（kx）|=m在區(qū)間[0，

5π

6

]上至多有一個(gè)解，
則當(dāng)y=|g（x）|圖象伸長(zhǎng)為原來(lái)的5倍以上時(shí)符合題意，所以0＜k≤

1

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定解析式、函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，考查函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想．