Question

已知函數(shù)f（x）=4cosxsin（x+

π

6

）+k，其中k為常數(shù)．
（1）若x∈[0，

π

2

]，f（x）的最大值為4，求k的值； 
（2）將f（x）圖象上的點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼摩耍é耍?）倍，所得函數(shù)為g（x），設(shè)A、B是g（x）圖象上任意兩個相鄰的最低點，線段AB與g（x）圖象所圍成的封閉圖形的面為6π，點C是g（x）圖象與y軸的交點，D是g（x）圖象在y軸右側(cè)且離y軸最近的一個對稱中心，當

OC

•

OD

＜0（O是坐標原點）時，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）先化簡函數(shù)的解析式為f（x）=4cosxsin（x+

π

6

）+k=2sin（2x+

π

6

）+k+1，再求出最值，令其等于4，即可得到k的方程求出它的值．
（2）本小題可由A、B是g（x）圖象上任意兩個相鄰的最低點，線段AB與g（x）圖象所圍成的封閉圖形的面為6π這一條件入手求出ω的值，由此可以確定出函數(shù)圖象的大體位置，再由

OC

•

OD

＜0得出k的不等式，解出其范圍即可．

解答： 解：（1）f（x）=4cosxsin（x+

π

6

）+k=2sin（2x+

π

6

）+k+1．
x∈[0，

π

2

]，則2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，可得sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]．
又x∈[0，

π

2

]，f（x）的最大值為4，可得k+3=4，解得k=1．
（2）由（1）知，f（x）=4cosxsin（x+

π

6

）+k=2sin（2x+

π

6

）+k+1．
∵A、B是g（x）圖象上任意兩個相鄰的最低點，線段AB與g（x）圖象所圍成的封閉圖形的面為6π，
∴|AB|×4=6π，解得|AB|=

3

2

π，即T=

3

2

π，故有ω=

2π

3 2 π

=

4

3

，即g（x）=2sin（

4

3

x+

π

6

）+k+1
又點C是g（x）圖象與y軸的交點，D是g（x）圖象在y軸右側(cè)且離y軸最近的一個對稱中心，

OC

•

OD

＜0
可得出k+1＞0，故有k＞-1．
k的取值范圍k＞-1．

點評：本題考查三角恒等變換與數(shù)量積的意義，三角恒等變換是高考重要內(nèi)容，它與向量的結(jié)合是近年高考中常出現(xiàn)的題型．