Question

某聯(lián)歡晚會舉行抽獎活動，舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎方案，方案甲的中獎率為，中獎可以獲得2分；方案乙的中獎率為，中獎可以獲得3分；未中獎則不得分．每人有且只有一次抽獎機(jī)會，每次抽獎中獎與否互不影響，晚會結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎品．

（Ⅰ）張三選擇方案甲抽獎，李四選擇方案乙抽獎，記他們的累計(jì)得分為X，若X≤3的概率為，求；

（Ⅱ）若張三、李四兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎，問：他們選擇何種方案抽獎，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大？

Answer 1

【解析】（Ⅰ）由已知得，張三中獎的概率為，李四中獎的概率為，且兩人中獎與否互不影響．

記“這2人的累計(jì)得分X≤3”的事件為A，則事件A的對立事件為“X＝5”，

因?yàn)?i>P(X＝5)＝×，所以P (A)＝1－P(X＝5)＝1－×=，所以  .……6分

（Ⅱ）設(shè)張三、李四都選擇方案甲抽獎中獎次數(shù)為X₁，都選擇方案乙抽獎中獎次數(shù)為X₂，

則這兩人選擇方案甲抽獎累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E(2X₁)，

選擇方案乙抽獎累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E(3X₂)．

由已知可得，X₁～B，X₂～B，

所以E(X₁)＝2×＝，E(X₂)＝2×，

從而E(2X₁)＝2E(X₁)＝，E(3X₂)＝3E(X₂)＝6.

若E(2X₁)  E(3X₂)，則6；

若E(2X₁)  E(3X₂)，則6；

若E(2X₁)  E(3X₂)，則=6；

綜上所述，當(dāng)時(shí)，他們都選擇方案甲進(jìn)行抽獎，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大；當(dāng)時(shí)，他們都選擇方案乙進(jìn)行抽獎，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大；當(dāng)時(shí)，他們選擇方案甲或方案乙進(jìn)行抽獎，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望相等…………13分