Question

17．已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與x軸的正半軸重合．曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²=$\frac{36}{{4{{cos}^2}θ+9{{sin}^2}θ}}$；
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）若P（x，y）是曲線C上的一個動點(diǎn)，求3x+4y的最大值．

Answer 1

分析 （1）ρ²=$\frac{36}{{4{{cos}^2}θ+9{{sin}^2}θ}}$，去分母，結(jié)合x=ρcosθ，y=ρsinθ，可求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）若P（x，y）是曲線C上的一個動點(diǎn)，利用橢圓的參數(shù)方程，結(jié)合三角函數(shù)知識求3x+4y的最大值．

解答 解：（1）ρ²=$\frac{36}{{4{{cos}^2}θ+9{{sin}^2}θ}}$，去分母，結(jié)合x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$；
（2）設(shè)$P（3cosθ，2sinθ）⇒3x+4y=9cosθ+8sinθ=\sqrt{145}sin（θ+ϕ）$，
$⇒{（3x+4y）_{max}}=\sqrt{145}$．

點(diǎn)評 本題考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，考查橢圓參數(shù)方程的運(yùn)用，屬于中檔題．