Question

9．在平面直角坐標系xOy中，已知直線l經過點P（$\frac{1}{2}$，1），傾斜角α=$\frac{π}{6}$．在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的極坐標方程為ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}$）．
（1）求直線l的參數方程及圓C的直角坐標方程；
（2）設直線l與圓C交于點A，B，求|PA|•|PB|．

Answer 1

分析 （1）根據直線經過的點的坐標及直線的傾斜角，求出直線的參數方程，利用極坐標與直角坐標的互化方法，可得圓C的直角坐標方程．
（2）設A，B對應的參數為t₁和t₂，以直線l的參數方程代入圓的方程整理得到t²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t-$\frac{7}{4}$=0，由|PA|•|PB|=|t₁t₂|求出點P到A、B兩點的距離之積．

解答 解：（1）直線l經過點P（$\frac{1}{2}$，1），傾斜角α=$\frac{π}{6}$，
∴參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數），（3分）
ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}$）=2cosθ+2sinθ．
故圓的直角坐標方程為x²+y²-2x-2y=0．…（6分）
（2）把$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$代入x²+y²-2x-2y=0得t²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t-$\frac{7}{4}$=0            …（9分）
設A、B對應的參數分別為t₁、t₂，則${t_1}{t_2}=-\frac{7}{4}$
∴|PA|•|PB|=$|{{t_1}•{t_2}}|=\frac{7}{4}$．…（12分）

點評 本題考查直線的參數方程以及參數的幾何意義，極坐標方程化為直角坐標方程，利用直線的參數方程中參數的幾何意義是解題的關鍵．