Question

11．曲線y=$\frac{1}{3}{x^3}$+x-$\frac{1}{3}$在點(diǎn)（1，1）處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為（　�。�

• A． 2
• B． 1
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f′（1），即曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線的斜率，寫出直線方程的點(diǎn)斜式，求出直線在兩坐標(biāo)軸上的截距，代入三角形面積公式得答案．

解答 解：由y=$\frac{1}{3}{x^3}$+x-$\frac{1}{3}$，得y′=x²+1，
∴y′|_x=1=2，
則函數(shù)在點(diǎn)（1，1）處的切線方程為y-1=2（x-1），即2x-y-1=0．
取y=0，得x=$\frac{1}{2}$，
取x=0，得y=-1．
∴切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為S=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×|-1|=\frac{1}{4}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，過曲線上某點(diǎn)處的切線的斜率，就是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，是基礎(chǔ)題．