Question

3．已知A、B是過(guò)拋物線y²=2px（p＞0）焦點(diǎn)F的直線與拋物線的交點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿(mǎn)足AB=3FB，S_△OAB=$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$AB，則AB的值為$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 過(guò)A，B作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為C，D，由AB=3FB，丨AC丨=2丨BD丨，求得丨BE丨，根據(jù)三角形的面積公式，求得p的值，求得直線AB的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及拋物線的弦長(zhǎng)公式，即可求得丨AB丨．

解答 解：不妨設(shè)直線AB的斜率k＞0，過(guò)A，B作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為C，D，
過(guò)B作BE⊥AC于E，由AB=3FB，
∴$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，丨$\overrightarrow{AF}$丨=2丨$\overrightarrow{FB}$丨，即丨AC丨=2丨BD丨，
∴E為AC的中點(diǎn)，即丨AE丨=$\frac{1}{3}$丨AB丨，
∴丨BE丨=$\sqrt{丨AB{丨}^{2}-丨AE{丨}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$丨AB丨，
由S_△OAB=S_OAB+S_OAB=$\frac{1}{2}$丨BE丨•丨OF丨=$\frac{\sqrt{2}}{6}$p丨AB丨，S_△OAB=$\frac{\sqrt{2}}{3}$丨AB丨，
∴$\frac{\sqrt{2}}{3}$丨AB丨=$\frac{\sqrt{2}}{6}$p丨AB丨，即p=2，
由丨AE丨=$\frac{1}{3}$丨AB丨，則直線AB斜率為k_AB=±2$\sqrt{2}$，直線AB的方程y=2$\sqrt{2}$（x-1），
$\left\{\begin{array}{l}{y=2\sqrt{2}（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：2x²-5x-2=0，
則x₁+x₂=$\frac{5}{2}$，則丨AB丨=x₁+x₂+p=$\frac{5}{2}$+2=$\frac{9}{2}$，
故答案為：$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，拋物線的焦點(diǎn)弦公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．