Question

一個多面體的三視圖和直觀圖如圖所示，其中D為AA₁的中點．
（1）求平面B₁DC把多面體ABC-A₁B₁C₁分成兩部分的體積之比；
（2）在線段B₁C上是否存在一點E，使A₁E∥平面BDC，若存在，指出E點的位置，若不存在，請說明理由；
（3）求直線BD與平面B₁DC夾角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由三視圖知直觀圖為直三棱柱，且底ABC中，BC⊥AC，BC=CC₁=2，AC=1，由此能求出平面B₁DC把多面體ABC-A₁B₁C₁分成兩部分的體積之比．
（2）取B₁C的中點E，BC中點F，連EF，A₁E，DF，由已知得A₁DEF為平行四邊形，由此能求出在線段B₁C上存在一點E，使A₁E∥平面BDC，此時E為線段B₁C中點．
（3）連結(jié)C₁D，由題意得CD⊥C₁D，從而CD⊥面B₁C₁D，作C₁M⊥B₁D，則C₁M⊥面B₁DC，由此能求出直線BD與平面B₁DC夾角的正弦值．

解答： 解：（1）由三視圖知直觀圖為直三棱柱，
且底ABC中，BC⊥AC，BC=CC₁=2，AC=1，
∴VB1-A1DCC1=

1

3

SA1DCC1•B1C1=

1

3

×

(1+2)

2

×2=1，
VABC-A1B1C1=S_△ABC•AA₁=

1

2

×2×1×2=2，
∴平面B₁DC把多面體ABC-A₁B₁C₁分成兩部分的體積之比為1：1．
（2）取B₁C的中點E，BC中點F，連EF，A₁E，DF，
由已知得A₁DEF為平行四邊形，∴A₁E∥DF，
而DF?面BDC，A₁E?面BDC，∴A₁E∥面BDC，
∴在線段B₁C上存在一點E，使A₁E∥平面BDC，此時E為線段B₁C中點．
（3）連結(jié)C₁D，由題意得CD⊥C₁D，
又CD⊥B₁C₁，∴CD⊥面B₁C₁D，
∴面B₁DC⊥面B₁C₁D，作C₁M⊥B₁D，則C₁M⊥面B₁DC，
∴面B₁DC⊥面B₁C₁D，作C₁M⊥B₁D，
則C₁M⊥面B₁DC，
由題意得C1M=

2 3

3

，即B點到平面B₁DC的距離為

2 3

3

，
設(shè)直線BD與平面B₁DC夾角為θ，
∵BD=

6

，∴sinθ=

C1M

BD

=

2 3 3

6

=

2

3

．
∴直線BD與平面B₁DC夾角的正弦值為

2

3

．

點評：本題考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．