Question

在雙曲線

x2

4

-

y2

12

=1的右支上求一點(diǎn) P，使它到左焦點(diǎn)的距離是它到右準(zhǔn)線距離的4倍．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出雙曲線的a，b，c，e，及右準(zhǔn)線方程，設(shè)P（m，n）到右準(zhǔn)線距離為d，運(yùn)用雙曲線的第二定義，得到P到右焦點(diǎn)的距離為2d，由條件可得，d=2，再由點(diǎn)到直線的距離公式可得m=3，代入雙曲線方程，解得n，進(jìn)而得到P的坐標(biāo)．

解答： 解：雙曲線

x2

4

-

y2

12

=1的a=2，b=2

3

，
則c=

4+12

=4，e=

c

a

=2，右準(zhǔn)線方程為x=

a2

c

，即有x=1，
設(shè)P（m，n）到右準(zhǔn)線距離為d，
根據(jù)第二定義，可得P到右焦點(diǎn)的距離為ed，
∵右支上一點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離是到右準(zhǔn)線距離的4倍，
∴P到左焦點(diǎn)的距離為4d，
∴4d-ed=2a=4，
∴d=

4

4-e

=

4

2

=2，即m-1=2，解得m=3，
則n²=12×（

9

4

-1）=15，即有n=±

15

．
則所求P的坐標(biāo)為（3，±

15

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的定義，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．