Question

如圖，橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點為F₁，右焦點為F₂，離心率e=

6

3

，過F₁ 的直線交橢圓于A，B兩點，且△ABF₂的周長為4

3

．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過點P（0，2）的動直線l與橢圓E相交于C，D兩點，O為原點，求△COD面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由△ABF₂的周長為4

3

，又|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a可解得a，又e=

c

a

=

6

3

可解得c，b²，從而可求橢圓方程．
（2）易知直線l的斜率k存在，設(shè)其方程為y=kx+2，設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．則由 

y=kx+2 x2+3y2=3

 消去y得x₁+x₂=

-12k

3k2+1

，x₁x₂=

9

3k2+1

，又原點到直線l的距離可求d=

|2|

k2+1

，且|CD|=

(1+k2)

|x₁-x₂|，從而可求S_△COD=

1

2

×|CD|×d=|x₁-x₂|，設(shè)

k2-1

=t（t＞0），則k²=t²+1，由基本不等式即可求△COD面積的最大值．

解答： 解：（1）∵△ABF₂的周長為4

3

，
∴|AB|+|AF₂|+|BF₂|=4

3

，即|AF₁|+|BF₁|+|AF₂|+|BF₂|=4

3

，
又|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a
∴4a=4

3

，得a=

3

                          …（2分）
又∵e=

c

a

=

6

3

∴c=

2

，b²=1              …（4分）
∴所求橢圓方程為

x2

3

+y2=1．                      …（5分）
（2）易知直線l的斜率k存在，設(shè)其方程為y=kx+2．…（6分）
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．
則由 

y=kx+2 x2+3y2=3

 消去y得：（3k²+1）x²+12kx+9=0，…（7分）
由△=（12k）²-4×（3k²+1）×9＞0，得k²＞1．
則x₁+x₂=

-12k

3k2+1

，x₁x₂=

9

3k2+1

．…（8分）
又原點到直線l的距離為d=

|2|

k2+1

，且|CD|=

(1+k2)

|x₁-x₂|，
所以S_△COD=

1

2

×|CD|×d=

1

2

×

(1+k2)

|x₁-x₂|×

|2|

k2+1

=|x₁-x₂|，…（10分）
【或S_△COD=|S_△POC-S_△POD|=

1

2

×2×|x₁-x₂|=|x₁-x₂|】，
因為|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

( -12k 3k2+1 )2- 36 3k2+1

=

6 k2-1

3k2+1

，…（11分）
設(shè)

k2-1

=t（t＞0），則k²=t²+1，
∴S_△COD=|x₁-x₂|=

6 k2-1

3k2+1

=

6t

3t2+4

=

6

3t+ 4 t

≤

6

2 3t× 4 t

=

3

2

，…（13分）
當且僅當t²=

4

3

，即k²-1=

4

3

，即k²=

7

3

時等號成立，
所以△COD面積取得最大值

3

2

．                         …（14分）

點評：本題主要考查橢圓的標準方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查運算能力，考查化歸思想，屬于中檔題．