Question

16．已知（2x-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁵．
（Ⅰ）求展開式中的倒數(shù)第3項(xiàng)；
（Ⅱ）求展開式中含$\frac{1}{x}$項(xiàng)的系數(shù)；
（Ⅲ）設(shè)（2x-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁵的展開式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為M，（1+ax）⁶的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為N，若4M=N，求正實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）二項(xiàng)展開式中共有6項(xiàng)，倒數(shù)第3項(xiàng)即為第4項(xiàng)，利用通項(xiàng)公式求展開式中的倒數(shù)第3項(xiàng)；
（Ⅱ）利用通項(xiàng)公式求展開式中含$\frac{1}{x}$項(xiàng)的系數(shù)；
（Ⅲ）求出M，N，利用4M=N，建立方程，即可求實(shí)數(shù)a的值．

解答 解：（Ⅰ）∵二項(xiàng)展開式中共有6項(xiàng)，
∴倒數(shù)第3項(xiàng)即為第4項(xiàng)   …（2分）
${T_{3+1}}=C_5^3{（2x）^{5-3}}{（-\frac{1}{{\sqrt{x}}}）^3}$=$-40{x^2}•{x^{-\frac{3}{2}}}$=$-40\sqrt{x}$，
∴${T_4}=-40\sqrt{x}$         …（4分）
（Ⅱ）${T_{r+1}}=C_5^r{（2x）^{5-r}}{（-\frac{1}{{\sqrt{x}}}）^r}$   …（5分）
=${（-1）^r}{2^{5-r}}C_5^r{x^{5-\frac{3}{2}r}}$．
令$5-\frac{3}{2}r=0$，則r=4，…（6分）
∴展開式中含$\frac{1}{x}$的項(xiàng)為：${T_{4+1}}={（-1）^4}•2•C_5^4•{x^{-1}}=\frac{10}{x}$，
展開式中含$\frac{1}{x}$的項(xiàng)的系數(shù)為10．…（8分）
（Ⅲ）由題意可知：$M=C_5^0+C_5^1+C_5^2=16$           …（9分）
N=（1+a）⁶                   …（10分）
4M=N，即（1+a）⁶=64，
∴a=1．                         …（12分）

點(diǎn)評 本題考查利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題，考查二項(xiàng)式系數(shù)之和，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．