Question

5．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且各項(xiàng)都是正數(shù)，2S_n=a_n+1²-a_n+1（n∈N^*），a₁=1，
（1）求a₂，a₃；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求數(shù)列$\left\{{\frac{1}{S_n}}\right\}$的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)在2S_n=a_n+1²-a_n+1（n∈N^*）中令n=1、2，直接計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過(guò)2S_n=a_n+1²-a_n+1與2S_n+1=a_n+2²-a_n+2作差，計(jì)算即得結(jié)論；
（3）通過(guò)（2）可知S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，通過(guò)裂項(xiàng)可知$\frac{1}{{S}_{n}}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），進(jìn)而并項(xiàng)相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵2a₁=${{a}_{2}}^{2}$-a₂，a₁=1，
∴a₂=2或a₂=-1（舍），
∵2（a₁+a₂）=${{a}_{3}}^{2}$-a₃，
∴a₃=3或a₃=-2（舍）；
（2）∵2S_n=a_n+1²-a_n+1（n∈N^*），
∴2S_n+1=a_n+2²-a_n+2，
兩式相減得：2a_n+1=a_n+2²-a_n+2-a_n+1²+a_n+1，
整理得：a_n+2-a_n+1=1，
由（1）可知a₂-a₁=1滿足上式，
∴a_n=1+（n-1）=n；
（3）由（2）可知：S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴T_n=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=2（1-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{2n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．