Question

16．已知數(shù)列{a_n}的第一項a₁=5，且S_n-1=a_n（n≥2  n∈N₊）
（1）求a₂、a₃、a₄并由此猜想a_n的表達式；
（2）用數(shù)學歸納法證明（1）的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）利用S_n-1=a_n，代入計算，可得結(jié)論，猜想a_n=5×2^n-2（n≥2，n∈N^*）．
（2）用歸納法進行證明，檢驗n=1時等式成立，假設n=k時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立．

解答 解：（1）當n=2時，S₁=a₁=a₂=5，
當n=3時，a₃=a₁+a₂=10，
當n=4時，a₄=a₁+a₂+a₃=20，
猜想a_n=5×2^n-2（n≥2，n∈N^*）
（2）證明：①當n=2時，a₂=5×2^2-2=5，猜想成立，
②假設n=k時成立，即a_k=5×2^k-2（k≥2，k∈N^*），
那么當n=k+1時，a_k+1=S_k=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_k=5+5+10+…+5×2^k-2=5+$\frac{5（1-{2}^{k-1}）}{1-2}$=5×2^k-1，
故n=k+1時猜想成立，
由①②可知對n≥2，n∈N^*，a_n=5×2^n-2，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{5，n=1}\\{5×{2}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$

點評 此題主要考查歸納法的證明，歸納法一般三個步驟：（1）驗證n=1成立；（2）假設n=k成立；（3）利用已知條件證明n=k+1也成立，從而得證，這是數(shù)列的通項一種常用求解的方法