Question

9．已知函數(shù)f（x）=x²+ax-1nx（a∈R，a為常數(shù)）．
（1）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作曲線y=f（x）的切線，設(shè)切點(diǎn)為P（x₀，y₀），求x₀的值；
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，若方程f（x）=$\frac{x}$有實(shí)根，求b的最小值；
（3）設(shè) F（x）=f（x）e^-x，若F（x）在區(qū)間（0，1]上是單調(diào)函數(shù)，求a的范圍．

Answer 1

分析 （1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程可得切線方程，代入原點(diǎn)，可得所求值；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極值、最值，可得f（x）≥0，又b=xf（x）≥0，進(jìn)而得到b的最小值；
（3）求出F（x）的導(dǎo)數(shù)，設(shè)h（x）=-x²+（2-a）x+a-$\frac{1}{x}$+lnx，對(duì)a討論，運(yùn)用單調(diào)性和函數(shù)的零點(diǎn)存在定理，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x+a-$\frac{1}{x}$，
即有切線的斜率為2x₀+a-$\frac{1}{{x}_{0}}$，
切線的方程為y-x₀²+ax₀-1nx₀=（2x₀+a-$\frac{1}{{x}_{0}}$）（x-x₀），
代入原點(diǎn)，化簡(jiǎn)可得x₀²+1nx₀=1，
函數(shù)u（x）=x²+lnx在（0，+∞）遞增，且u（1）=1，
解得x₀=1；
（2）f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x-1-$\frac{1}{x}$=$\frac{（x-1）（2x+1）}{x}$，
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有x=1處取得極小值，也為最小值0，
即f（x）≥0，又b=xf（x）≥0，
即有b的最小值為0；
（3）F（x）=f（x）e^-x的導(dǎo)數(shù)為
F′（x）=[-x²+（2-a）x+a-$\frac{1}{x}$+lnx]•e^-x，
設(shè)h（x）=-x²+（2-a）x+a-$\frac{1}{x}$+lnx，則
h′（x）=-2x+$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$+2-a，
①當(dāng)2-a≥0即a≤2時(shí)，h′（x）≥0，h（x）在（　　），1]遞增，
h（1）=0，h（x）＜0在（0，1]恒成立，即F′（x）≤0在（0，1]恒成立，
則有F（x）在（0，1]遞減，a≤2滿足題意；
②當(dāng)2-a＜0，即a＞2時(shí)，
設(shè)函數(shù)h′（x）的唯一零點(diǎn)為x₀，則h（x）在（0，x₀）遞增，
在（x₀，1）遞減，h（1）=0，則h（x₀）＞0，則F（x）在（x₀，1）遞增，
又h（e^-a）＜0，
則F（x）在（0，e^-a）遞減，與F（x）在（0，1]單調(diào)矛盾，則a＞2不合題意．
綜上可得，a≤2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)單調(diào)性的運(yùn)用，以及分類討論的思想方法，屬于中檔題．