Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinx+acosx的圖象的一條對稱軸為x=$\frac{π}{3}$．則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（　�。�

• A． [2kπ-$\frac{2π}{3}$，2kπ+$\frac{π}{3}$]（k∈Z）
• B． [2kπ-$\frac{2π}{3}$，2kπ+$\frac{2π}{3}$]（k∈Z）
• C． [2kπ-$\frac{π}{3}$，2kπ+$\frac{π}{3}$]（k∈Z）
• D． [2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]（k∈Z）

Answer 1

分析 由題意知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinx+acosx在x=$\frac{π}{3}$處取得最值，從而可得（$\sqrt{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$a）²=3+a²，從而解出f（x）=$\sqrt{3}$sinx+cosx=2sin（x+$\frac{π}{6}$），從而確定單調(diào)增區(qū)間．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinx+acosx的圖象的一條對稱軸為x=$\frac{π}{3}$，
∴函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinx+acosx在x=$\frac{π}{3}$處取得最值；
∴（$\sqrt{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$a）²=3+a²，
解得，a=1；
故f（x）=$\sqrt{3}$sinx+cosx=2sin（x+$\frac{π}{6}$），
故2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
故2kπ-$\frac{2π}{3}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
故選：A．

點評 本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時考查了三角恒等變換的應(yīng)用．