Question

12．△ABC中，tanA=$\frac{1}{3}$，B=$\frac{π}{4}$，若橢圓E以AB為焦距，且過點C，則橢圓E的離心率是$\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 先根據△ABC中，tanA=$\frac{1}{3}$，B=$\frac{π}{4}$，借助于正弦定理求出三角形ABC的三邊長，由三角形ABC為橢圓中的焦點三角形，可用三邊長表示橢圓中的長軸長2a和焦距2c，再代入離心率公式即可．

解答 解：在△ABC中，由tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{1}{3}$，結合sin²A+cos²A=1，
解得$sinA=\frac{\sqrt{10}}{10}，cosA=\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
又B=$\frac{π}{4}$，∴sinB=cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
在△ABC中，由$\frac{|BC|}{sinA}=\frac{|AC|}{sinB}=\frac{|AB|}{sinB}=2R$，得
|BC|=$\frac{\sqrt{10}}{5}R$，|AC|=$\sqrt{2}R$，|AB|=$\frac{4\sqrt{5}}{5}R$，
∴$e=\frac{c}{a}=\frac{2c}{2a}=\frac{|AB|}{|AC|+|BC|}$=$\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}R}{\sqrt{2}R+\frac{\sqrt{10}}{5}R}$$\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題主要考查橢圓中離心率的求法，關鍵是借助焦點三角形中的三邊關系求出a，c之間的關系，最后借助于兩角和與差的正弦求出結論，是中檔題．