Question

3．已知數(shù)列{a_n}是遞增的等比數(shù)列，a₁+a₄=9，a₂a₃=8．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=a_n•log₂a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用等比數(shù)列的通項公式，可得方程組，求得首項和公差，即可得到所求通項公式；
（Ⅱ）運用對數(shù)的運算性質，化簡b_n，再由數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結合等比數(shù)列的求和公式即可得到．

解答 解法一：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+{a_4}=9\\{a_2}{a_3}=8\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+{a_1}{q^3}=9\\{a_1}^2{q^3}=8\end{array}\right.$，
消q³得${a_1}+\frac{8}{a_1}=9$，解得a₁=1或a₁=8，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\ q=2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=8\\ q=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
∵{a_n}是遞增數(shù)列，∴$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\ q=2\end{array}\right.$，
∴${a_n}={a_1}{q^{n-1}}={2^{n-1}}$；
（Ⅱ）${b_n}={2^{n-1}}{log_2}{2^{n-1}}=（n-1）•{2^{n-1}}$，
${T_n}=0•{2^0}+1•{2^1}+2•{2^2}+…+（n-1）•{2^{n-1}}$，
2T_n=0•2¹+1•2²+2•2³+…+（n-2）•2^n-1+（n-1）•2ⁿ，
∴相減可得，$-{T_n}={2^1}+{2^2}+…+{2^{n-1}}-（n-1）•{2^n}$=$\frac{{2-{2^n}}}{1-2}-（n-1）•{2^n}$
=（2-n）•2ⁿ-2，
∴${T_n}=（n-2）•{2^n}+2$．
解法二：（Ⅰ）因為{a_n}是等比數(shù)列，a₂a₃=8，所以a₁a₄=8．
又∵a₁+a₄=9，∴a₁，a₄是方程x²-9x+8=0的兩根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\{a_4}=8\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=8\\{a_4}=1\end{array}\right.$．
∵{a_n}是遞增數(shù)列，∴$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\{a_4}=8\end{array}\right.$．
∴${q^3}=\frac{a_4}{a_1}=8$，∴q=2．∴${a_n}={a_1}{q^{n-1}}={2^{n-1}}$．
（Ⅱ）下同解法一．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，注意運用方程的思想，考查數(shù)列的求和方法：錯位相減求和，考查運算能力，屬于中檔題．