Question

11．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{π}{6}$，a_n+1∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），且tana_n+1•cosa_n=1（n∈N^*）．
（1）求{tan²a_n}的前n項(xiàng)和；
（2）求正整數(shù)m，使得11sina₁•sina₂…sina_m=1．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角函數(shù)的關(guān)系式，利用構(gòu)造法證明{tan²a_n}是等差數(shù)列，即可求出數(shù)列的前n項(xiàng)和；
（2）求出tana_n，cosa_n，將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，解方程即可．

解答 解：（1）∵tana_n+1•cosa_n=1，
∴tana_n+1≠0，cosa_n=≠0，
則tana_n+1=$\frac{1}{cos{a}_{n}}$=seca_n，
平方得tan²a_n+1=sec²a_n=1+tan²a_n，
即tan²a_n+1-tan²a_n=1，
即{tan²a_n}是公差為1的等差數(shù)列，
首項(xiàng)為tan²a₁=tan²$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{3}$，
則{tan²a_n}的前n項(xiàng)和S=$\frac{1}{3}n+\frac{n（n-1）}{2}$=$\frac{1}{2}{n}^{2}-\frac{1}{6}n$；
（2）由（1）知tana_n=$\sqrt{\frac{3n-2}{3}}$，cosa_n=$\sqrt{\frac{3}{3n+1}}$，
則sina₁•sina₂…sina_m=（tana₁•cosa₁）•（tana₂•cosa₂）…（tana_m•cosa_m）
=（tana₂•cosa₁）•（tana₃•cosa₂）…（tana_m•cosa_m-1）•（tana₁•cosa_m）
=tana₁•cosa_m=$\frac{\sqrt{3}}{3}•\sqrt{\frac{3}{3m+1}}$=$\sqrt{\frac{1}{3m+1}}$，
∵11sina₁•sina₂…sina_m=1．
∴sina₁•sina₂…sina_m=$\frac{1}{11}$．
即$\sqrt{\frac{1}{3m+1}}$=$\frac{1}{11}$．
即$\frac{1}{3m+1}=\frac{1}{121}$，
則3m+1=121，
3m=120，解得n=40．

點(diǎn)評 本題主要考查數(shù)列求和以及遞推數(shù)列的應(yīng)用，利用三角函數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．