Question

15．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n=log_n（n+1）（n≥2，n∈N^*）．定義：使乘積a₁•a₂•a₃…a_n為正整數(shù)的k（k∈N⁺）叫做“幸運數(shù)”，則在[1，2015]內(nèi)所有“幸運數(shù)”的和為（　�。�

• A． 2035
• B． 2036
• C． 4084
• D． 4085

Answer 1

分析 先利用換底公式與疊乘法把a(bǔ)₁•a₂•a₃•…•a_k化為log₂（k+1），然后根據(jù)a₁•a₂•a₃•…•a_k為整數(shù)可得k=2ⁿ-1，最后由等比數(shù)列前n項和公式解決問題．

解答 解：∵a_n=log_n（n+1）=$\frac{lo{g}_{2}（n+1）}{lo{g}_{2}n}$，（n≥2，n∈N^*），
∴a₁•a₂•a₃•…•a_k=$\frac{lo{g}_{2}3}{lo{g}_{2}2}$×$\frac{lo{g}_{2}4}{lo{g}_{2}3}$×…×$\frac{lo{g}_{2}（k+1）}{lo{g}_{2}k}$=log₂（k+1），
又∵a₁•a₂•a₃•…•a_k為整數(shù)，
∴k+1必須是2的n次冪（n∈N^*），即k=2ⁿ-1．
∴k∈[1，2015]內(nèi)所有的“幸運數(shù)”的和
M=（2²-1）+（2³-1）+（2⁴-1）+…+（2¹⁰-1）
=$\frac{4（1-{2}^{9}）}{1-2}$-1×9
=2035，
故選：A．

點評 本題在理解新定義的基礎(chǔ)上，考查換底公式、疊乘法及等比數(shù)列前n項和公式，其綜合性、技巧性較強(qiáng)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．