Question

7．已知函數(shù)f（x）=|x+a|+|x+$\frac{1}{a}$|（a＞0）
（I）當(dāng)a=2時(shí)，求不等式 f（x）＞3的解集；（Ⅱ）證明：f（m）+$f（-\frac{1}{m}）≥4$．

Answer 1

分析 （I）當(dāng)a=2時(shí)，去掉絕對(duì)值，再求不等式 f（x）＞3的解集；
（Ⅱ）f（m）+f（-$\frac{1}{m}$）=|m+a|+|m+$\frac{1}{a}$|+|-$\frac{1}{m}$+a|+|-$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{a}$|≥2|m+$\frac{1}{m}$|=2（|m|+$\frac{1}{|m|}$）≥4，可得結(jié)論．

解答 （I）解：當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=|x+2|+|x+$\frac{1}{2}$|，
不等式 f（x）＞3等價(jià)于$\left\{\begin{array}{l}{x＜-2}\\{-x-2-x-\frac{1}{2}＞3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-2≤x≤-\frac{1}{2}}\\{x+2-x-\frac{1}{2}＞3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞-\frac{1}{2}}\\{x+2+x+\frac{1}{2}＞3}\end{array}\right.$，
∴x＜-$\frac{11}{4}$或x＞$\frac{1}{4}$，
∴不等式 f（x）＞3的解集為{x|x＜-$\frac{11}{4}$或x＞$\frac{1}{4}$}；
（Ⅱ）證明：f（m）+f（-$\frac{1}{m}$）=|m+a|+|m+$\frac{1}{a}$|+|-$\frac{1}{m}$+a|+|-$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{a}$|
≥2|m+$\frac{1}{m}$|=2（|m|+$\frac{1}{|m|}$）≥4，
當(dāng)且僅當(dāng)m=±1，a=1時(shí)等號(hào)成立，
∴f（m）+$f（-\frac{1}{m}）≥4$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶絕對(duì)值的函數(shù)，考查不等式的證明，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．