Question

18．如圖，直線(xiàn)l：y=-x+1與橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）相交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若橢圓的焦距為2，離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求△OAB的面積；
（Ⅱ）若以A、B為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且橢圓的長(zhǎng)軸2a∈[$2\sqrt{2}$，$2\sqrt{3}$]時(shí)，求橢圓離心率取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）∵e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，2c=2，則$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴$a=\sqrt{3}$，則b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}=\sqrt{2}$．解得橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\\{y=-x+1}\end{array}\right.$，消去y得：（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0，由∵$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即x₁x₂+y₁y₂=0，代入列式求解．

解答 解：（Ⅰ）∵e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，2c=2，則$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴$a=\sqrt{3}$，則b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}=\sqrt{2}$．
∴橢圓得方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$
將y=-x+1代入消去y得：5x²-6x-3=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y2）
∴$|AB|=\sqrt{1+（-1）^{2}}×\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}×\sqrt{（\frac{6}{5}）^{2}+\frac{12}{5}}=\frac{8\sqrt{3}}{5}$，
又原點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故${S}_{△AOB}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即x₁x₂+y₁y₂=0
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\\{y=-x+1}\end{array}\right.$，消去y得：（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0
由△=（-2a²）²-4a²（a²+b²）（1-b²）＞0，整理得a²+b²＞1
又x₁+x₂=$\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{{a}^{2}（1-^{2}）}{{a}^{2}+^{2}}$
y₁y₂=（-x₁+1）（-x₂+1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1
由x₁x₂+y₁y₂=0，得：2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0
∴$\frac{2{a}^{2}（1-^{2}）}{{a}^{2}+^{2}}-\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}+1=0$整理得：a²+b²-2a²b2=0，
∵b²=a²-c²=a²-a²e²代入上式得：2${a}^{2}=1+\frac{1}{1-{e}^{2}}$∴${e}^{2}=1-\frac{1}{2{a}^{2}-1}∴2a∈[2\sqrt{2}，2\sqrt{3}]$
∴${e}^{2}∈[\frac{2}{3}，\frac{4}{5}]$，符合條件a²+b²＞1
由此得：$e∈[\frac{\sqrt{6}}{3}，\frac{2\sqrt{5}}{5}]$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了橢圓方程的求法和直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題屬于中檔題型，高考經(jīng)常涉及．