Question

10．記數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=$\int_0^n$（2ax+b）dx（a，b常數(shù)）．若不等式a_n²+$\frac{{S_{n}^2}}{{n{^2}}}$≥ma₁²對任意的數(shù)列{a_n}及任意正整數(shù)n都成立，則實數(shù)m的取值范圍為（　�。�

• A． $（-∞，\frac{1}{2}]$
• B． $[{\frac{1}{5}，\frac{1}{2}}]$
• C． $[{\frac{1}{5}，+∞}）$
• D． $（-∞，\frac{1}{5}]$

Answer 1

分析 令$\frac{1}{2}$（n-1）d=t，a_n²+$\frac{{{S}_{n}}^{2}}{{n}^{2}}$=（a₁+2t）²+（a₁+t）²=2a₁²+6ta₁+5t²，利用二次函數(shù)得出，當t=-$\frac{3{a}_{1}}{5}$時，取到最小值，由此能求出結(jié)果．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=$\int_0^n$（2ax+b）dx（a，b常數(shù)）．
∴S_n=an²+bn，
當n=1時，a₁=a+b，a₂=3a+b，
知識當n≥2時，a_n=2an+b-a，
綜上：a_n=2na+b-a，
a_n²+$\frac{{{S}_{n}}^{2}}{{n}^{2}}$=a_n²+$\frac{1}{{n}^{2}}$[na₁+$\frac{1}{2}$n（n-1）d]²
=a_n²+[a₁+$\frac{1}{2}$（n-1）d]²，
令$\frac{1}{2}$（n-1）d=t，
a_n²+$\frac{{{S}_{n}}^{2}}{{n}^{2}}$=（a₁+2t）²+（a₁+t）²
=2a₁²+6ta₁+5t²
=5（t+$\frac{3{a}_{1}}{5}$）²+2a₁²-$\frac{9{{a}_{1}}^{2}}{5}$，
當t=-$\frac{3{a}_{1}}{5}$時，取到最小值
即$\frac{1}{2}$（n-1）d=$\frac{3{a}_{1}}{5}$，即n=$\frac{6{a}_{1}}{5d}$+1，
∵不等式a_n²+$\frac{{{S}_{n}}^{2}}{{n}^{2}}$$≥m{{a}_{1}}^{2}$對任意等差數(shù)列{a_n}及任意正整數(shù)n都成立，
∴m≤$\frac{1}{5}$．
故選：D

點評 本題考查了數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，其中用到換元法求得二次函數(shù)的最值，應(yīng)屬于考查計算能力的中檔題目