Question

20．已知動圓C過定點(diǎn)（1，0）且與直線x=-1相切
（1）求動圓圓心C的軌跡方程；
（2）設(shè)過定點(diǎn)M （-4，0）的直線?與圓心C的軌跡有兩個交點(diǎn)A，B，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，設(shè)∠xOA=α，∠xOB=β，試探究α+β是否為定值，若是定值，求定值，若不是定值，說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)圓的圓心為（x，y），運(yùn)用兩點(diǎn)的距離和直線和圓相切的條件：d=r，化簡整理，即可得到軌跡方程；
（2）設(shè)過定點(diǎn)M（-4，0）的直線l的方程為x=my-4，代入拋物線方程可得，y²-4my+16=0，設(shè)A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂），運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，計算即可得到定值．

解答 解：（1）設(shè)圓的圓心為（x，y），
由動圓C過定點(diǎn)（1，0）且與直線x=-1相切，
可得$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=|x+1|，
化簡可得y²=4x；
（2）設(shè)過定點(diǎn)M（-4，0）的直線l的方程為x=my-4，
代入拋物線方程可得，y²-4my+16=0，
設(shè)A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂），
則y₁+y₂=4m，y₁y₂=16，
由題意當(dāng)m＞0，可得OA的斜率為k₁=tanα=$\frac{4}{{y}_{1}}$，
OA的斜率為k₂=tanβ=$\frac{4}{{y}_{2}}$，
即有tanαtanβ=1，
則α+β=90°；
當(dāng)m＜0時，同樣有tanαtanβ=1，
則α+β=90°．
故α+β為定值，且為90°．

點(diǎn)評 本題考查軌跡方程的求法，同時考查直線和圓相切的條件，以及拋物線的方程的運(yùn)用，聯(lián)立直線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．