Question

15．觀察下列各式：
sin²45°+cos²75°+sin45°cos75°=$\frac{3}{4}$，
sin²40°+cos²70°+sin40°cos70°=$\frac{3}{4}$，
sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°=$\frac{3}{4}$
（1）分析上述各式的共同特點，寫出能反映一般規(guī)律的等式；
（2）并對（1）的等式的正確性作出證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知三個等式，找出一般性規(guī)律，寫出即可；
（2）由（1）中等式左邊利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，再利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系變形得到結(jié)果與右邊相等，得證．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：sin²x+cos²（x+30°）+sinxcos（x+30°）=$\frac{3}{4}$；
（2）已知等式左邊=sin²x+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx-$\frac{1}{2}$sinx）²+sinx（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx-$\frac{1}{2}$sinx）
=sin²x+$\frac{3}{4}$cos²x+$\frac{1}{4}$sin²x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx-$\frac{1}{2}$sin²x
=$\frac{3}{4}$cos²x+$\frac{3}{4}$sin²x=$\frac{3}{4}$=右邊，
則sin²x+cos²（x+30°）+sinxcos（x+30°）=$\frac{3}{4}$．

點評 此題考查了三角函數(shù)的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．