Question

若實(shí)數(shù)a、b、c、d滿足（b-lna）²+（c-d+2）²=0，則（a-c）²+（b-d）²的最小值為（　　）

• A、

  2

  2

• B、

  1

  2

• C、2
• D、

  9

  2

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,點(diǎn)到直線的距離公式

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由題設(shè)條件：b-lna=0，設(shè)b=y，a=x，得到y(tǒng)=lnx；c-d+2=0，設(shè)c=x，d=y，得到y(tǒng)=x+2，所以（a-c）²+（b-d）²就是曲線y=lnx與直線y=x+2之間的最小距離的平方值，由此能求出（a-c）²+（b-d）²的最小值．

解答：解：∵（b-lna）²+（c-d+2）²=0，
∴b-lna=0且c-d+2=0，
即b=lna，c-d+2=0，
設(shè)y=lnx，y=x+2，
∴（a-c）²+（b-d）²就是曲線y=lnx與直線y=x+2之間的最小距離的平方值，
對(duì)曲線y=lnx求導(dǎo)：y′=

1

x

，
與直線y=x+2平行的切線斜率k=1=

1

x

，
解得：x=1，
將x=1代入y=lnx得：y=0，即切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
∴切點(diǎn)到直線y=x+2的距離d=

1-0+2

2

=

3 2

2

，即d²=

9

2

，
則（a-c）²+（b-d）²的最小值為

9

2

．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：此題考查導(dǎo)數(shù)在求解函數(shù)最值中的應(yīng)用，以及對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用，解題時(shí)要注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．