Question

如圖，點(diǎn)A在直線x=5上移動(dòng)，等腰△OPA的頂角∠OPA為120°（O，P，A按順時(shí)針方向排列），求點(diǎn)P極坐標(biāo)系的軌跡方程，并化成直角坐標(biāo)系方程．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化

專題：綜合題,直線與圓

分析：先建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系：取O為極點(diǎn)，x正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，將直線x=5的極坐標(biāo)方程為ρcosθ=5，再設(shè)A（ρ₀，θ₀），P（ρ，θ），最后利用題設(shè)條件建立ρ，θ的關(guān)系式即得點(diǎn)P的極坐標(biāo)的軌跡方程，從而可得直角坐標(biāo)系方程．

解答： 解：取O為極點(diǎn)，x正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，則直線x=5的極坐標(biāo)方程為ρcosθ=5，
設(shè)A（ρ₀，θ₀），P（ρ，θ），
因點(diǎn)A在直線ρcosθ=5上，故ρ₀cosθ₀=5，（1）
又因三角形OPA為等腰三角形，且∠OPA為120°，而|OP|=ρ，|OA|=ρ₀，
以及∠POA為30°，∴ρ₀=

3

ρ，且θ₀=θ-30°，（2）
把（2）代入（1）得，
點(diǎn)P的極坐標(biāo)的軌跡方程

3

ρcos（θ-30°）=5．
直角坐標(biāo)系方程為

15

x-

3

y-10=0．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，以及怎樣求點(diǎn)的軌跡方程的方法．屬于基礎(chǔ)題．