Question

11．如圖所示，某村積極開展“美麗鄉(xiāng)村•生態(tài)家園”建設，現(xiàn)擬在邊長為1千米的正方形地塊ABCD上劃出一片三角形地塊CMN建設美麗鄉(xiāng)村生態(tài)公園，給村民休閑健身提供去處．點M，N分別在邊AB，AD上．
（Ⅰ）當點M，N分別是邊AB，AD的中點時，求∠MCN的余弦值；
（Ⅱ）由于村建規(guī)劃及保護生態(tài)環(huán)境的需要，要求△AMN的周長為2千米，請?zhí)骄俊螹CN是否為定值，若是，求出此定值，若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設∠DCN=∠BCM=θ，由題意利用勾股定理可求CN=CM=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，從而可求sinθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，∠MCN=$\frac{π}{2}$-2θ，利用誘導公式，二倍角公式即可求∠MCN的余弦值．
（Ⅱ）設∠BCM=α，∠DCN=β，AM=x，AN=y，可求BM=1-x，DN=1-y，tanα=1-x，tanβ=1-y，可得tan（α+β）=$\frac{2-（x+y）}{x+y-xy}$，由x+y+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=2，化簡得xy=2（x+y）-2，求得tan（α+β）=1，即可得解∠MCN是定值，且∠MCN=$\frac{π}{4}$．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）當點M，N分別是邊AB，AD的中點時，設∠DCN=∠BCM=θ，
CD=BC=1，DN=BM=$\frac{1}{2}$，CN=CM=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，sinθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，∠MCN=$\frac{π}{2}$-2θ，
所以cos∠MCN=cos（$\frac{π}{2}$-2θ）=sin2θ=2sinθcosθ=$\frac{4}{5}$，
所以∠MCN的余弦值是$\frac{4}{5}$．-----------（6分）
（Ⅱ）設∠BCM=α，∠DCN=β，AM=x，AN=y，則BM=1-x，DN=1-y，
在△CBM中，tanα=1-x，在△CDN中，tanβ=1-y，
所以：tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=$\frac{1-x+1-y}{1-（1-x）（1-y）}$=$\frac{2-（x+y）}{x+y-xy}$，（*）----------（8分）
△AMN的周長為2千米，所以x+y+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=2，化簡得xy=2（x+y）-2，
代入（*）式，可得tan（α+β）=$\frac{2-（x+y）}{x+y-xy}$=$\frac{2-（x+y）}{x+y-[2（x+y）-2]}$=$\frac{2-（x+y）}{2-（x+y）}$=1，
所以α+β=$\frac{π}{4}$，所以∠MCN是定值，且∠MCN=$\frac{π}{4}$．-----------（12分）

點評 本題主要考查了誘導公式，二倍角公式，勾股定理，兩角和的正切函數(shù)公式的綜合應用，考查了轉化思想和數(shù)形結合思想，屬于中檔題．