Question

【題目】如圖，正方形的邊長為，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且.

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）若是的中點，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）取AC中點O，連結PO，BO．推導出PO⊥AC，PO⊥OB，從而PO⊥面ABC，由此能證明面PAC⊥面ABC；

（Ⅱ）以為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，求出面的一個法向量和面的一個法向量，利用夾角公式求解即可.

解：（Ⅰ）證明：取AC中點O，連結PO，BO．

因為PC＝PA，所以PO⊥AC，
在中，PO＝OB＝AC＝2，PB＝PA＝，
則，

所以PO⊥OB，
又AC∩OB＝O，且AC、OB面ABC，所以PO⊥面ABC，
又PO面PAC，所以面PAC⊥面ABC；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得兩兩垂直，則以為坐標原點，以為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖：

則，

，

設面的一個法向量為，

則，令，則，即，

又面的一個法向量為，

則，

又由于二面角為銳角，

則二面角的余弦值為.