【題目】已知函數(shù),其中,e為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)若,且當(dāng)時,總成立,求實數(shù)a的取值范圍;

(2)若,且存在兩個極值點,求證:

【答案】(1) ;(2)見解析.

【解析】

(1)由已知可得 ,只需對0的大小關(guān)系分類討論,確定函數(shù)的單調(diào)性,從而確定函數(shù)的最小值,即可求出實數(shù)a的取值范圍;

(2)根據(jù),的根,可得的關(guān)系及其范圍,進(jìn)而可將用含有的式子表示,構(gòu)造函數(shù)即可證出.

(1),則,

所以

因為,,

所以當(dāng),即時,

所以函數(shù)上單調(diào)遞增,所以,符合題意;

當(dāng),即時,時,;時,,

所以函數(shù)上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

所以,不符合題意,

綜上:實數(shù)a的取值范圍為.

(2),則

所以,

因為存在兩個極值點,所以,所以,

,得,

所以是方程的兩個根,

所以,且,

不妨設(shè),則

所以

,

,

所以

所以上單調(diào)遞增,所以,

所以,又

所以.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某藥業(yè)公司統(tǒng)計了2010-2019年這10年某種疾病的患者人數(shù),結(jié)論如下:該疾病全國每年的患者人數(shù)都不低于100萬,其中有3年的患者人數(shù)低于200萬,有6年的患者人數(shù)不低于200萬且低于300萬,有1年的患者人數(shù)不低于300.

1)藥業(yè)公司為了解一新藥品對該疾病的療效,選擇了200名患者,隨機(jī)平均分為兩組作為實驗組和對照組,實驗結(jié)束時,有顯著療效的共110人,實驗組中有顯著療效的比率為70.請完成如下的2×2列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99.9%把握認(rèn)為該藥品對該疾病有顯著療效;

實驗組

對照組

合計

有顯著療效

無顯著療效

合計

200

2)藥業(yè)公司最多能引進(jìn)3條新藥品的生產(chǎn)線,據(jù)測算,公司按如下條件運行生產(chǎn)線:

該疾病患者人數(shù)(單位:萬)

最多可運行生產(chǎn)線數(shù)

1

2

3

每運行一條生產(chǎn)線,可產(chǎn)生年利潤6000萬元,沒運行的生產(chǎn)線毎條每年要虧損1000萬元.根據(jù)該藥業(yè)公司這10年的統(tǒng)計數(shù)據(jù),將患者人數(shù)在以上三段的頻率視為相應(yīng)段的概率、假設(shè)各年的患者人數(shù)相互獨立.欲使該藥業(yè)公司年總利潤的期望值達(dá)到最大,應(yīng)引進(jìn)多少條生產(chǎn)線?

附:參考公式:,其中.

0.05

0.025

0.010

0.001

3.841

5.024

6.635

10.828

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知曲線C的極坐標(biāo)方程是.以極點為平面直角坐標(biāo)系的原點,極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,直線l的參數(shù)方程是t為參數(shù)),直線l與曲線C相交于A,B兩點.

1)求的長;

2)求點AB兩點的距離之積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),若存在非零實數(shù),使得點,都在的圖象上,則實數(shù)的取值范圍是______.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知三棱錐中,平面平面,,,

1)證明:;

2)求直線和平面所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論:

①函數(shù)的圖象把圓的面積兩等分

是周期為的函數(shù)

③函數(shù)在區(qū)間上有3個零點

④函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減

其中所有正確結(jié)論的編號是(

A.①③④B.②④C.①④D.①③

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,正方形的邊長為,以為折痕把折起,使點到達(dá)點的位置,且.

(Ⅰ)證明:平面平面;

(Ⅱ)若的中點,,求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某企業(yè)質(zhì)量檢驗員為了檢測生產(chǎn)線上零件的質(zhì)量情況,從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取了個零件進(jìn)行測量,根據(jù)所測量的零件尺寸(單位:mm),得到如下的頻率分布直方圖:

1)根據(jù)頻率分布直方圖,求這個零件尺寸的中位數(shù)(結(jié)果精確到);

2)若從這個零件中尺寸位于之外的零件中隨機(jī)抽取個,設(shè)表示尺寸在上的零件個數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望

3)已知尺寸在上的零件為一等品,否則為二等品,將這個零件尺寸的樣本頻率視為概率. 現(xiàn)對生產(chǎn)線上生產(chǎn)的零件進(jìn)行成箱包裝出售,每箱. 企業(yè)在交付買家之前需要決策是否對每箱的所有零件進(jìn)行檢驗,已知每個零件的檢驗費用為. 若檢驗,則將檢驗出的二等品更換為一等品;若不檢驗,如果有二等品進(jìn)入買家手中,企業(yè)要向買家對每個二等品支付元的賠償費用. 現(xiàn)對一箱零件隨機(jī)抽檢了個,結(jié)果有個二等品,以整箱檢驗費用與賠償費用之和的期望值作為決策依據(jù),該企業(yè)是否對該箱余下的所有零件進(jìn)行檢驗?請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),關(guān)于函數(shù)有下列結(jié)論:

,

②函數(shù)的圖象是中心對稱圖形,且對稱中心是;

③若的極大值點,則在區(qū)間單調(diào)遞減;

④若的極小值點,且,則有且僅有一個零點.

其中正確的結(jié)論有________(填寫出所有正確結(jié)論的序號).

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案