【題目】在四棱錐中中，是邊長為的等邊三角形，底面為直角梯形，，，，．

（1）證明：；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）取的中點為，連接，由是等邊三角形可得，再由底面為直角梯形，結合已知的邊長可證得，于是得平面，從而證得結果；

（2）由條件可得可知兩兩垂直，所以以為坐標原點建立直角坐標系，利用向量法求出二面角的余弦值.

（1）證明：取的中點為，連接，因為是等邊三角形，所以．

因為在直角梯形中，，，，所以

所以為等腰三角形，所以

因為，所以平面

因為平面，所以．

（2）解：因為，，為正三角形的邊上的高，所以．

因為，所以，由（1）可知兩兩垂直．

以為坐標原點建立直角坐標系，則，，，

則，，

設平面的法向量為

則,即令得．

設平面的法向量為

則,即令，則

因為二面角為銳二面角，所以其余弦值為．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖（甲），是邊長為的等邊三角形，點分別為的中點，將沿折成四棱錐，使，如圖（乙）．

（1）求證：平面；

（2）求與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】端午節(jié)是我國民間為紀念愛國詩人屈原的一個傳統(tǒng)節(jié)日.某市為了解端午節(jié)期間粽子的銷售情況，隨機問卷調(diào)查了該市1000名消費者在去年端午節(jié)期間的粽子購買量（單位：克），所得數(shù)據(jù)如下表所示：

購買量

人數(shù)

100

300

400

150

50

將煩率視為概率

（1）試求消費者粽子購買量不低于300克的概率；

（2）若該市有100萬名消費者，請估計該市今年在端午節(jié)期間應準備多少千克棕子才能滿足市場需求（以各區(qū)間中點值作為該區(qū)間的購買量）.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知曲線C的極坐標方程是.以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），直線l與曲線C相交于A，B兩點.

（1）求的長；

（2）求點到A，B兩點的距離之積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的前項和為，把滿足條件（對任意的）的所有數(shù)列構成的集合記為.

（1）若數(shù)列的通項為，判斷是否屬于，并說明理由；

（2）若數(shù)列的通項為，判斷是否屬于，并說明理由；

（3）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，若存在非零實數(shù)，使得點，都在的圖象上，則實數(shù)的取值范圍是______.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知三棱錐中，平面平面，，，．

（1）證明：；

（2）求直線和平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，正方形的邊長為，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且.

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）若是的中點，，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了比較兩種治療某病毒的藥（分別稱為甲藥，乙藥）的療效，某醫(yī)療團隊隨機地選取了服用甲藥的患者和服用乙藥的患者進行研究，根據(jù)研究的數(shù)據(jù)，繪制了如圖1等高條形圖

.

（1）根據(jù)等高條形圖，判斷哪一種藥的治愈率更高，不用說明理由；

（2）為了進一步研究兩種藥的療效，從服用甲藥的治愈患者和服用乙藥的治愈患者中，分別抽取了10名，記錄他們的治療時間（單位：天），統(tǒng)計并繪制了如圖2莖葉圖，從莖葉圖看，哪一種藥的療效更好，并說明理由；

（3）標準差s除了可以用來刻畫一組數(shù)據(jù)的離散程度外，還可以刻畫每個數(shù)據(jù)偏離平均水平的程度，如果出現(xiàn)了治療時間在（3s，3s）之外的患者，就認為病毒有可能發(fā)生了變異，需要對該患者進行進一步檢查，若某服用甲藥的患者已經(jīng)治療了26天還未痊愈，請結合（2）中甲藥的數(shù)據(jù)，判斷是否應該對該患者進行進一步檢查？

參考公式：s，

參考數(shù)據(jù)：48.

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