Question

若sinα+cosα=

2

2

（lnx+

1

lnx

 ），則α的值為（　�。�

• A、2kπ+

  π

  4

  ，k∈Z
• B、kπ+

  π

  4

  ，k∈Z
• C、2kπ-

  π

  4

  ，k∈Z
• D、kπ-

  π

  4

  ，k∈Z

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用,對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值

分析：利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式，可得lnx+

1

lnx

≥2或lnx+

1

lnx

≤-2，結(jié)合已知可得sin（α+

π

4

）≥1或sin（α+

π

4

）≤-1，利用正弦函數(shù)的值域可知sin（α+

π

4

）=1或sin（α+

π

4

）=-1，從而可求α的值．

解答：解：由基本不等式得：lnx+

1

lnx

≥2或lnx+

1

lnx

≤-2，
∴

2

2

（lnx+

1

lnx

）≥

2

或

2

2

（lnx+

1

lnx

）≤-

2

，
又sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

），sinα+cosα=

2

2

（lnx+

1

lnx

 ），
∴sin（α+

π

4

）≥1或sin（α+

π

4

）≤-1，
由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，sin（α+

π

4

）=1或sin（α+

π

4

）=-1，
∴α+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z，
∴α=kπ+

π

4

，k∈Z．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，考查基本不等式的應(yīng)用與正弦函數(shù)的值域，考查綜合分析與運(yùn)算能力，屬于中檔題．