Question

1．如圖，從橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$上一點P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點F₁，又點A是橢圓與x 軸正半軸的交點，點B是橢圓與y軸正半軸的交點，且AB∥OP，則橢圓的離心率為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 由橢圓方程，可得A，B，P的坐標，再由直線平行的條件：斜率相等，結(jié)合離心率公式，計算即可得到．

解答 解：由橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，可得A（a，0），B（0，b），F(xiàn)₁（-c，0），
設P（-c，y），則$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，解得y=±$\frac{^{2}}{a}$，可取P（-c，$\frac{^{2}}{a}$），
由AB∥OP，則k_AB=k_OP，
即為-$\frac{a}$=-$\frac{^{2}}{ac}$，
即為b=c，
則a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$c，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選C．

點評 本題主要考查橢圓的離心率的求法，同時考查直線平行的條件：斜率相等，考查運算能力，屬于中檔題．