Question

11．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₂=$\frac{5}{3}$，S₁₀=40．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）令b_n=（-1）ⁿ⁺¹a_na_n+1（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前2n項的和T_2n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過a₂=$\frac{5}{3}$，S₁₀=40計算即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過b_n=（-1）ⁿ⁺¹a_na_n+1（n∈N^*）寫出T_2n的表達式，利用相鄰兩項的差為定值提取公因式計算即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
則$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=\frac{5}{3}}\\{10{a}_{1}+\frac{10×9}{2}d=40}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
故a_n=1+$\frac{2}{3}$（n-1）=$\frac{2}{3}$n+$\frac{1}{3}$；
（Ⅱ）T_2n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+a_2na_2n+1
=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_2n（a_2n-1a_2n+1）
=-$\frac{4}{3}$（a₂+a₄+a₆+…+a_2n）
=-$\frac{4}{9}$（2n²+3n）．

點評 本題考查求數(shù)列的通項、前n項和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．