Question

3．如圖，飛船返回艙順利到達(dá)地球后，為了及時將航天員救出，地面指揮中心在返回艙預(yù)計(jì)到達(dá)區(qū)域安排了三個救援中心（記為A，B，C），B在A的正東方向，相距6km，C在B的北偏東30°的方向上，相距4km，P為航天員著陸點(diǎn)．某一時刻，在A地接到P的求救信號，由于B，C兩地比A距P遠(yuǎn)，因此4s后，B，C兩個救援中心才同時接收到這一信號，已知該信號的傳播速度為1km/s．求∠BAP的大�。�

Answer 1

分析 以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，易判斷P在以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的左支上，從而可確定雙曲線的方程，再與BC的垂直平分線的方程聯(lián)立，可求P的坐標(biāo)，從而問題得解．

解答 解：以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，…（2分）
因?yàn)閨PC|=|PB|，所以P在線段BC的垂直平分線上．
又因?yàn)閨PB|-|PA|=4，|AB|=6，
所以P在以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{5}=1$的左支上．…（6分）
又BC的垂直平分線方程為x+$\sqrt{3}$y-7=0…（8分）
聯(lián)立兩方程解得x=-8．
所以P（-8，5$\sqrt{3}$）…（10分）
所以k_PA=tan∠PAB=-$\sqrt{3}$，得∠PAB=120°．…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用．解此類題的要點(diǎn)是建立適當(dāng)?shù)娜�角函�?shù)模型，利用三角函數(shù)的基本公式和定理進(jìn)行求解．