Question

11．已知z為復(fù)數(shù)，z+2i為實(shí)數(shù)，且（1-2i）z為純虛數(shù)，其中i是虛數(shù)單位．
（1）求復(fù)數(shù)z；
（2）若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足$|{ω-\overline z}|=1$，求|ω|的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)z=a+bi（a，b∈R），l利用z+2i為實(shí)數(shù)，（1-2i）z為純虛數(shù)，列出方程求解即可．
（2）設(shè)ω=x+yi，（x，y∈R），通過(guò)$|{ω-\overline z}|=1$，|ω|最小值即為原點(diǎn)到圓（x-4）²+（y-2）²=1上的點(diǎn)距離的最小值，即可求解|ω|的最小值．

解答 解：（1）設(shè)z=a+bi（a，b∈R），
則z+2i=a+（b+2）i，因?yàn)閦+2i為實(shí)數(shù)，所以有b+2=0①…2分
（1-2i）z（1-2i）（a+bi）=a+2b+（b-2a）i，因?yàn)椋?-2i）z為純虛數(shù)，
所以a+2b=0，b-2a≠0，②…4分
由①②解得a=4，b=-2．…6分
故z=4-2i．…7分
（2）因?yàn)閦=4-2i，則$\overline{z}$=4+2i，…8分
設(shè)ω=x+yi，（x，y∈R），因?yàn)?|{ω-\overline z}|=1$，即（x-4）²+（y-2）²=1…10分
又|ω|=$\sqrt{{x^2}+y{\;}^2}$，故|ω|最小值即為原點(diǎn)到圓（x-4）²+（y-2）²=1上的點(diǎn)距離的最小值，
因?yàn)樵�點(diǎn)到點(diǎn)（4，2）的距離為$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=$2\sqrt{5}$，又因?yàn)閳A的半徑r=1，原點(diǎn)在圓外，
所以|ω|的最小值即為2$\sqrt{5}$-1．…14分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運(yùn)算，復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)的模的求法，考查計(jì)算能力．