Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x}$+alnx，其中a∈R．
（Ⅰ）設(shè)f（x）的極小值點為x=t，請將a用t表示；
（Ⅱ）記f（x）的極小值為g（t），證明：
（1）g（t）=g（$\frac{1}{t}$）；
（2）函數(shù)y=g（t）恰有兩個零點，且互為倒數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，利用f（x）的極小值點為x=t．推出t=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+4}-a}{2}$＞0，然后求解單調(diào)區(qū)間，a=$\frac{1}{t}$-表示出a與t的關(guān)系．
（Ⅱ）（�。┯桑á瘢┲猣（x）的極小值，就是證明g（$\frac{1}{t}$）=g（t）．
（ⅱ）求出函數(shù)的g′（t）=-（1+$\frac{1}{{t}^{2}}$）lnt，利用單調(diào)性以及極值，判斷分別存在唯一的c∈（1，1）和d∈（1，e²），推出g（c）=g（d）=0，化簡即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{a}{x}$=$\frac{{x}^{2}+ax-1}{{x}^{2}}$．t=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+4}-a}{2}$＞0，…（2分）
當(dāng)x∈（0，t）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（t，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．…（4分）
由f′（t）=0得 a=$\frac{1}{t}$-t．…（6分）
（Ⅱ）
（�。┯桑á瘢┲猣（x）的極小值為g（t）=t+$\frac{1}{t}$+（$\frac{1}{t}$-t）lnt，
則g（$\frac{1}{t}$）=$\frac{1}{t}$+t+（t-$\frac{1}{t}$） ln$\frac{1}{t}$=t+$\frac{1}{t}$+（$\frac{1}{t}$-t）lnt=g（t）． …（8分）
（ⅱ）g′（t）=-（1+$\frac{1}{{t}^{2}}$）lnt，…（9分）
當(dāng)t∈（0，1）時，g′（t）＞0，f（t）單調(diào)遞增；
當(dāng)t∈（1，+∞）時，g′（t）＜0，g（t）單調(diào)遞減．…（10分）
又g（$\frac{1}{{e}^{2}}$）=g（e²）=$\frac{3}{{e}^{2}}$-e²＜0，g（1）=2＞0，
分別存在唯一的c∈（1，1）和d∈（1，e²），
使得g（c）=g（d）=0，且cd=1，
所以y=g（t）有兩個零點且互為倒數(shù)．…（12分）

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值的求法，函數(shù)的零點的應(yīng)用，考查計算能力．