Question

17．已知f（x）=|ax-1|（x∈R），不等式f（x）≤3的解集為{x|-2≤x≤1}．
（1）求a的值；
（2）若f（x）-2f（${\frac{x}{2}}$）＞$\frac{-a}{x^2}$+$\frac{k}{2}{x^2}$+k的解集非空，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)絕對值不等式的解法，結(jié)合不等式的解集建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．
（2）利用參數(shù)分離法轉(zhuǎn)化為存在x使得|2x+1|-2|x+1|＞$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{k}{2}{x^2}$+k成立，利用基本不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）由f（x）≤3得|ax-1|≤3，得-3≤ax-1≤3，
即-2≤ax≤4，
若a＞0，則不等式等價(jià)為-$\frac{2}{a}$≤x≤$\frac{4}{a}$，
∵f（x）≤3的解集為{x|-2≤x≤1}．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{a}=-2}\\{\frac{4}{a}=1}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{a=4}\end{array}\right.$此時(shí)，無解，
若a＜0，則不等式等價(jià)為$\frac{4}{a}$≤x≤-$\frac{2}{a}$，
則此時(shí)$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{a}=-2}\\{-\frac{2}{a}=1}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{a=-2}\end{array}\right.$，此時(shí)a=-2．
（2）f（x）-2f（${\frac{x}{2}}$）=|2x+1|-2|x+1|＞$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{k}{2}{x^2}$+k的解集非空，
則存在x使得|2x+1|-2|x+1|＞$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{k}{2}{x^2}$+k成立，
由|2x+1|-2|x+1|≤1當(dāng)且僅當(dāng)x≤-1時(shí)等號(hào)成立，
且$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{k}{2}{x^2}$+k≥2$\sqrt{k}$+k，當(dāng)x²=$\frac{2}{\sqrt{k}}$時(shí)，等號(hào)成立，
則需要1＞2$\sqrt{k}$+k，得$\sqrt{2}-1＞\sqrt{k}$，
此時(shí)x=-$\sqrt{\frac{2}{\sqrt{k}}}$＜$\sqrt{\frac{2}{\sqrt{2}-1}}$＜-1，滿足等號(hào)條件，
∴k＜3-2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查絕對值不等式的應(yīng)用，以及基本不等式的求解，利用參數(shù)分離法進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．