Question

9．若函數y=$\frac{{2{{sin}^2}x+sin\frac{3x}{2}-4}}{{{{sin}^2}x+2{{cos}^2}x}}$既存在最大值M，又存在最小值m，則M+m的值為（　　）

• A． -1
• B． -2
• C． -3
• D． -4

Answer 1

分析 將4=4sin²x+4cos²x代入函數式化簡得y=-2+$\frac{sin\frac{3x}{2}}{si{n}^{2}x+co{s}^{2}x}$，令g（x）=$\frac{sin\frac{3x}{2}}{si{n}^{2}x+co{s}^{2}x}$，則g（x）為奇函數，故而M+m=-4．

解答 解：y=$\frac{2si{n}^{2}x+sin\frac{3x}{2}-4si{n}^{2}x-4co{s}^{2}x}{si{n}^{2}x+2co{s}^{2}x}$=$\frac{-2si{n}^{2}x-4co{s}^{2}x+sin\frac{3x}{2}}{si{n}^{2}x+2co{s}^{2}x}$=-2+$\frac{sin\frac{3x}{2}}{si{n}^{2}x+co{s}^{2}x}$．
令g（x）=$\frac{sin\frac{3x}{2}}{si{n}^{2}x+co{s}^{2}x}$，則M=-2+g_max（x），m=-2+g_min（x）．
∵g（-x）=$\frac{sin（-\frac{3x}{2}）}{si{n}^{2}x+co{s}^{2}x}$=-g（x）．
∴g（x）是奇函數．
∴g_max（x）+g_min（x）=0，
∴M+m=-2+g_max（x）-2+g_min（x）=-4．
故選：D．

點評 本題考查了三角函數的恒等變換，函數奇偶性的性質，屬于中檔題．