Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{cosx}$，x∈（-$\frac{π}{2}，\frac{π}{2}$），當(dāng)|x_i|＜$\frac{π}{2}$（i=1，2，3）時(shí)，f（x₁）+f（x₂）＜0，f（x₂）+f（x₃）＜0，f（x₃）+f（x₁）＜0，則有（　�。�

• A． x₁+x₂+x₃＞0
• B． x₁+x₂+x₃=0
• C． x₁+x₂+x₃＜0
• D． x₁+x₂+x₃的符號不能確定

Answer 1

分析 根據(jù)條件判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{x}{cosx}$，則f（-x）=-$\frac{x}{cosx}$=-f（x），則函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{cosx+xsinx}{co{s}^{2}x}$，
當(dāng)x∈（-$\frac{π}{2}，\frac{π}{2}$）時(shí)，f′（x）=$\frac{cosx+xsinx}{co{s}^{2}x}$＞0，
即函數(shù)f（x）是增函數(shù)，
由f（x₁）+f（x₂）＜0，f（x₂）+f（x₃）＜0，f（x₃）+f（x₁）＜0，
得f（x₁）＜-f（x₂）=f（-x₂），f（x₂）＜-f（x₃）=f（-x₃），f（x₃）＜-f（x₁）=f（-x₁），
則x₁＜-x₂，x₂＜-x₃，x₃＜-x₁，
則等式兩邊同時(shí)相加得x₁+x₂+x₃＜-x₁-x₂-x₃，
即x₁+x₂+x₃＜0，
故選：C

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)值的大小計(jì)算，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．