Question

12．某普通高中組隊(duì)參加中學(xué)生辯論賽，文科班推薦了3名男生、4名女生，理科班推薦了3名男生、2名女生，他們各有所長(zhǎng)，總體水平相當(dāng)，學(xué)校擬從這12名學(xué)生隨機(jī)抽取3名男生、3名女生組隊(duì)集訓(xùn)．
（Ⅰ）求理科班至少有2名學(xué)生入選集訓(xùn)隊(duì)的概率；
（Ⅱ）若先抽取女生，每次隨機(jī)抽取1人，設(shè)X表示直到抽到文科班女生時(shí)所抽到的理科班女生的人數(shù)，求X的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出理科班沒(méi)有學(xué)生入選集訓(xùn)隊(duì)的概率和理科班有1名學(xué)生入選集訓(xùn)隊(duì)的概率，由此利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出理科班至少有2名學(xué)生入選集訓(xùn)隊(duì)的概率．
（Ⅱ）由題意X=0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）．

解答 解：（Ⅰ）理科班沒(méi)有學(xué)生入選集訓(xùn)隊(duì)的概率為$\frac{C_3^3C_4^3}{C_6^3C_6^3}=\frac{1}{100}$…（2分）
理科班有1名學(xué)生入選集訓(xùn)隊(duì)的概率為$\frac{C_3^2C_4^3C_3^1+C_3^3C_4^2C_2^1}{C_6^3C_6^3}=\frac{3}{25}$…（4分）
∴理科班至少有2名學(xué)生入選集訓(xùn)隊(duì)的概率為$1-（\frac{1}{100}+\frac{3}{25}）=\frac{87}{100}$…（5分）
（Ⅱ）由題意X=0，1，2…（6分）
P（X=0）=$\frac{4}{6}$=$\frac{2}{3}$…（7分），
P（X=1）=$\frac{2}{6}×\frac{4}{5}=\frac{4}{15}$…（8分）
P（X=2）=$\frac{2}{6}×\frac{1}{5}$=$\frac{1}{15}$…（9分）
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{2}{3}$	$\frac{4}{15}$	$\frac{1}{15}$

…（10分）
X的均值（數(shù)學(xué)期望）EX=$0×\frac{2}{3}+1×\frac{4}{15}+2×\frac{1}{15}$=$\frac{2}{5}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．