Question

10．已知曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），直線l的極坐標方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$．
（1）寫出曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程；
（2）設點P為曲線C上的動點，求點P到直線l距離的最大值．

Answer 1

分析 第一問，利用平方關系消參，得到曲線C的普通方程，利用ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ轉化，得到直線l的直角坐標方程；第二問，利用點到直線的距離公式列出表達式，再利用兩角和的正弦公式化簡，求三角函數(shù)的最值即可得到結論．

解答 解：（1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），消去θ可得曲線C的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$，
直線l的極坐標方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$．即$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρcosθ+ρsinθ）=2\sqrt{2}$
直線l的直角坐標方程為x+y-4=0．
（2）設點P坐標為（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ），
點P到直線l的距離d=$\frac{|\sqrt{3}cosθ+sinθ-4|}{\sqrt{2}}$=$2\sqrt{2}-\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{3}）$$≤3\sqrt{2}$．
所以點P到直線l距離的最大值為$3\sqrt{2}$．

點評 本小題主要考查極坐標系與參數(shù)方程的相關知識，具體涉及到極坐標方程與平面直角坐標方程的互化、利用曲線的參數(shù)方程的幾何意義求解曲線上點到直線的距離等內容．本小題考查考生的方程思想與數(shù)形結合思想，對運算求解能力有一定要求．