Question

15．如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，E為AD上一點(diǎn)，四邊形BCDE為矩形，∠PAD=60°，PA=ED=2AE=2．
（I）若$\overrightarrow{PF}=λ\overrightarrow{PC}$（λ∈R），且PA∥平面BEF，求λ的值；
（Ⅱ）求證：CB⊥平面PEB．

Answer 1

分析 （I）連接AC交BE于點(diǎn)M，連接FM，由已知得FM∥AP，由EM∥CD，F(xiàn)M∥AP，能求出λ．
（II）先求出$PE=\sqrt{3}$，從而PE⊥AD，進(jìn)而PE⊥CB，BE⊥CB，由此能證明CB⊥平面PEB．

解答 解：（I）連接AC交BE于點(diǎn)M，連接FM，
因?yàn)镻A∥平面BEF，平面PAC∩平面BEF=FM，所以FM∥AP．
因?yàn)镋M∥CD，所以$\frac{AM}{MC}=\frac{AE}{ED}=\frac{1}{2}$
因?yàn)镕M∥AP，所以$\frac{PF}{FC}=\frac{AM}{MC}=\frac{1}{2}$
所以$λ=\frac{1}{3}$．…（6分）
證明：（II）因?yàn)锳P=2，AE=1，∠PAD=60°，
所以$PE=\sqrt{3}$，所以PE⊥AD
又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，PE⊥平面ABCD，
所以PE⊥CB，又BE⊥CB，且PE∩BE=E．
所以CB⊥平面PEB．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查線(xiàn)面垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．