Question

19．以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，若橢圓C兩焦點(diǎn)的極坐標(biāo)分別是$（\sqrt{2}，0），（\sqrt{2}，π）$，長軸長是4．
（I）求橢圓C的參數(shù)方程；
（Ⅱ）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=1+sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求曲線C的極坐標(biāo)方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出橢圓C兩焦點(diǎn)的直角坐標(biāo)，由此能求出橢圓直角坐標(biāo)方程，從而能求出橢圓C的參數(shù)方程．
（Ⅱ）先求出曲線C的普通方程，由此能求出曲線C的極坐標(biāo)方程．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C兩焦點(diǎn)的極坐標(biāo)分別是$（\sqrt{2}，0），（\sqrt{2}，π）$，
∴橢圓C兩焦點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別是（$\sqrt{2}$，0），（-$\sqrt{2}$，0），
∵長軸長是4，∴a=2，c=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{4-2}$=$\sqrt{2}$，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
∴橢圓C的參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$，0≤θ＜π．
（Ⅱ）∵曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=1+sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），
∴曲線C的普通方程為x²+（y-1）²=1，即x²+y²-2y=0，
∴曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²-2ρsinθ，即ρ=2sinθ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的參數(shù)方程和曲線的極坐標(biāo)方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程、普通方程互化公式的合理運(yùn)用．