Question

9．如圖，已知有直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M、N、Q分別是CC₁、BC、AC的中點，點P在線段A₁B₁上運動．
（1）證明：無論點P怎樣運動，總有AM⊥平面PNQ；
（2）是否存在點P，使得平面PMN與平面PNQ所成的銳二面角為45°？若存在，試確定點P的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）建立空間直角坐標系，設出棱長，得到點的坐標，由向量數(shù)量積證得答案；
（2）求出平面PMN的法向量、平面PNQ的法向量，利用向量的夾角公式，結合平面PMN與平面PNQ所成的銳二面角為45°，即可得出結論．

解答 （1）證明：建立如圖所示的空間直角坐標系，設AA₁=AB=AC=a，
則A（0，0，0），M（0，a，$\frac{a}{2}$），N（$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$，0），Q（0，$\frac{a}{2}$，0），
A₁（0，0，a），B₁（a，0，a），
再設P（x，0，a），由A₁P=λA₁B₁，得$\overrightarrow{{A}_{1}P}$=λ$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$（λ＞0），
即（x，0，0）=λ（a，0，0），即x=λa，
∴P（λa，0，a），
∵$\overrightarrow{PN}$=（$\frac{a}{2}$-λa，$\frac{a}{2}$，-a），$\overrightarrow{PQ}$=（-λa，$\frac{a}{2}$，-a），$\overrightarrow{AM}$=（0，a，$\frac{a}{2}$），
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{PN}$=0，$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{PQ}$=0，則AM⊥平面PNQ；
（Ⅱ）解：設平面PMN的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則
∵$\overrightarrow{PN}$=（$\frac{a}{2}$-λa，$\frac{a}{2}$，-a），$\overrightarrow{MN}$=（$\frac{a}{2}$，-$\frac{a}{2}$，-$\frac{a}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{a}{2}-λa）x+\frac{ay}{2}-az=0}\\{\frac{ax}{2}-\frac{ay}{2}-\frac{az}{2}=0}\end{array}\right.$，∴$\overrightarrow{n}$=（3，1+2λ，2-2λ）
同理平面PNQ的法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，2，1），
∵平面PMN與平面PNQ所成的銳二面角為45°，
∴$\frac{2（1+2λ）+（2-2λ）}{\sqrt{9+（1+2λ）^{2}+（2-2λ）^{2}}}$•$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴λ=-$\frac{1}{2}$，與λ＞0矛盾．
∴不存在點P，使得平面PMN與平面PNQ所成的銳二面角為45°．

點評 利用向量知識解決立體幾何問題的優(yōu)點在于用代數(shù)化的方法解決立體幾何，解題的關鍵在于用坐標表示空間向量，是中檔題．