Question

15．已知函數(shù)f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x．
（Ⅰ）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（x+$\frac{π}{6}$），求使g（θ）≤-1成立的θ的集合．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），由x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，可得2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，從而可求值域．
（Ⅱ）由g（θ）=f（θ+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{2}$cos（2θ+$\frac{7π}{12}$）≤-1，可得cos（2θ+$\frac{7π}{12}$）≤-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由2kπ+$\frac{3π}{4}$≤2θ+$\frac{7π}{12}$≤2kπ+$\frac{5π}{4}$，k∈Z，解得使g（θ）≤-1成立的θ的集合．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x
=（cos²x+sin²x）（cos²x-sin²x）-sin2x=cos2x-sin2x
=$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x）
=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），
∴當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，cos（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-1，1]．
（Ⅱ）∵g（θ）=f（θ+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{2}$cos[2（θ+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{4}$]=$\sqrt{2}$cos（2θ+$\frac{7π}{12}$）≤-1，
∴cos（2θ+$\frac{7π}{12}$）≤-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴可得：2kπ+$\frac{3π}{4}$≤2θ+$\frac{7π}{12}$≤2kπ+$\frac{5π}{4}$，k∈Z，解得使g（θ）≤-1成立的θ的集合為：{θ|k$π+\frac{π}{12}$≤θ≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．