Question

15．已知函數f（x）=2$\sqrt{3}$sinx•cosx-2sin²x+1（x∈R）
（1）設函數g（x）=f（x+$\frac{φ}{2}$），φ∈（0，π），若g（x）為偶函數，求g（x）最大值及相應的x值的集合．
（2）將函數f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個單位，再將圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到函數y=h（x）的圖象，若關于x的方程h（x）+k=0，在區(qū)間[0，π]上有實數解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數恒等變換的應用可求f（x），g（x）解析式，由偶函數的性質可求φ，利用余弦函數的單調性即可得解．
（2）由條件利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得函數解析式h（x），由題意可得函數h（x）與y=-k在區(qū)間[0，π]上有交點，結合正弦函數的圖象可得k的范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=2$\sqrt{3}$sinx•cosx-2sin²x+1
=$\sqrt{3}$sin2x-（1-cos2x）+1
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
又∵g（x）=f（x+$\frac{φ}{2}$）=2sin[2（x+$\frac{φ}{2}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x+φ+$\frac{π}{6}$）為偶函數，
∴圖象關于y軸為對稱軸，φ+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∵φ∈（0，π），
∴φ=$\frac{π}{3}$．…（9分）
則g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x．…（10分）
當cos2x=-1時，函數g（x）取得最大值2，此時x∈{x|x=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z}．…（12分）
（2）將f（x）的圖象向右平移個$\frac{π}{4}$個單位后，得到y=2sin[2（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象，
再將所得圖象所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到y=2sin（x-$\frac{π}{3}$）的圖象．
所以：h（x）=2sin（x-$\frac{π}{3}$）．
因為：0≤x≤π，
所以：-$\frac{π}{3}$≤x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，h（x）=2sin（x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\sqrt{3}$，2]，
因為：關于x的方程h（x）+k=0，在區(qū)間[0，π]上有實數解，
所以：-$\sqrt{3}$≤-k≤2，解得實數k的取值范圍為：-2≤k$≤\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數的圖象，三角函數恒等變換的應用，考查了轉化思想和數形結合思想，屬于中檔題．