Question

3．如圖，直線e、f為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）兩條漸近線，F(xiàn)為右焦點，過點F作FM∥f，交e于M，交雙曲線于R，且$\frac{FR}{FM}$∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]，則雙曲線的離心率的取值范圍是[$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 求得雙曲線的漸近線方程，設直線FM的方程為y=-$\frac{a}$（x-c），聯(lián)立直線e的方程，解得M的橫坐標；聯(lián)立雙曲線的方程可得R的橫坐標，運用共線的坐標表示，解不等式結(jié)合離心率公式可得所求范圍．

解答 解：設直線e的方程為y=$\frac{a}$x，直線f的方程為y=-$\frac{a}$x，
F（c，0），可得直線FM的方程為y=-$\frac{a}$（x-c），
聯(lián)立直線e的方程，解得M的橫坐標為$\frac{c}{2}$，
聯(lián)立雙曲線的方程，可得R的橫坐標為$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}}{2c}$，
由$\frac{FR}{FM}$∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]，可得
$\frac{c-\frac{{c}^{2}+{a}^{2}}{2c}}{c-\frac{1}{2}c}$=1-$\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}$∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]，
即有$\frac{1}{{e}^{2}}$∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$]，
即為e²∈[2，3]，
解得e∈[$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$]．
故答案為：[$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$]．

點評 本題考查雙曲線的離心率的范圍，注意運用雙曲線的漸近線方程，聯(lián)立方程求交點，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．